Koordináta-geometria

Irány a kikérdező

Vektor

A vektor a matematikában használatos fogalom, a lineáris algebra egyik alapvető jelentőségű mennyisége. Általában az ember a vektorokkal mint irányított szakaszokkal szokott találkozni, de a matematikában a jelentése ennél lényegesen bőségesebb.

Műveletek

Két vektor összeadásakor az egyik vektor végpontjába felmérjük a másik vektort. Az összegvektor az első kezdőpontjából a másik vektor végpontjába mutat.

Két vektor különbségének megszerkesztésekor a két vektort közös kezdőpontból mérjük fel. A különbségvektor a kivonandó vektor végpontjából a kisebbítendő vektor végpontjába mutat.

Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolút értékének és hajlásszögük koszinuszának szorzatát értjük.

Háromszög szabály

A háromszög szabály (Chasles szabály)- egyik vektort eltoljuk úgy, hogy akezdőpontja a másik vektor végpontjában legyen. Ekkor az összegvektor az első vektor kezdőpontjától a második vektor végpontjáigmutat.

Helyvektor, bázisvektor

Helyvektor

A matematikában a sík vagy a tér egy adott pontjának helyvektora az a vektor, amely a koordináta-rendszer origójából (kezdőpontjából) a pontba mutat. A helyvektor tehát függ attól, hogy a pontot milyen koordináta-rendszerben helyezzük el.

Bázisvektor

A bázisvektorok olyan vektorok, amelyek segítségével bármely más vektor kifejezhető lineáris kombinációként. A bázisvektorok alkotják a tér koordinátarendszerének alapját, és lehetővé teszik a vektorok egyértelmű leírását koordináták segítségével.

2 pont közti távolság

Két pont távolsága egyenlő a két pont által meghatározott vektor abszolút értékével. A két pont által meghatározott vektor a két pont helyvektorának különbsége.

Szakasz felezőpontjának koordinátái

A szakasz felezőpontjának koordinátáit a végpontok koordinátáiból számolhatjuk ki. Az x-koordináta a végpontok x-koordinátáinak átlaga, míg az y-koordináta a végpontok y-koordinátáinak átlaga.

Szakasz súlypontjának koordinátái

A szakasz súlypontja az a pont, amely a szakasz végpontjainak koordinátáiból számított számtani közép. Tehát ha az A(x1, y1) és B(x2, y2) pontok a szakasz végpontjai, akkor a súlypont koordinátái számíthatók.

Egyenesek egyenlete

Irányvektoros-

Az irányvektoros egyenes egyenletét megadhatjuk egy irányvektorral v(v1; v2) és egy ponttal P(x0; y0) is. Ekkor az egyenes egyenletének irányvektoros alakja: v2 * x - v1 * y = v2 * x0 - v1 * y0

Normálvektoros-

Egy normálvektoros egyenes egyenlete az egyenes egy pontját és egy normálvektorát használja fel. Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja a következő: A * x + B * y = A * x0 + B * y0, ahol A és B a normálvektor koordinátái, x0 és y0 pedig a pont koordinátái .

Íránytényezős-

Az egyenes irányvektoros egyenletéből indulunk ki, amely a következő: v2x-v1y=v2x0-v1y0 az alábbi animációs ábra jelölései szerint.

2 ponton áthaladó

Az egyenes áthaladó pontok egyenesének fogalma azt jelenti, hogy az egyenes egy olyan egyenlettel írható le, amelyet kizárólag azok a pontok elégítenek ki, amelyek az egyenesre illeszkednek. Az egyenes egyenletét meghatározhatjuk két adott ponton áthaladó egyenes esetén is. Az egyenes egyenletét felírhatjuk normálvektorral vagy irányvektorral is.

2 egyenlet metszéspontja

Az egyenesek metszéspontja az a pont, ahol két egyenes találkozik. Az egyenesek metszéspontjának meghatározásához általában az egyenesek egyenletét használjuk. Az egyenesek egyenletét felírva és megoldva az egyenletrendszert, meghatározhatjuk a metszéspont koordinátáit.

A kör egyenlete

A kör egyenletének fogalma a koordináta-geometriában használt definícióra utal, amely leírja a körhöz tartozó pontokat a koordinátarendszerben. A kör egyenlete a kör középpontjának és sugarának ismeretében adható meg.

A kör egyenlete általában az alábbi alakban írható fel: (x - u)^2 + (y - v)^2 = r^2, ahol (u, v) a kör középpontjának koordinátái, r pedig a kör sugarát jelöli.